Теория перекатывания многогранников (построена Виктором Матизеном в 1979 г.) — изучает сеть перекатывания выпуклого многогранника (СПМ) — множество следов его вершин, рёбер и граней при всевозможных перекатываниях по плоскости через ребра из некоторого начального положения.

Кривизна

Кривизной в вершине выпуклого многогранника называется разность между полным углом и суммой плоских углов при этой вершине. Одна из теорем теории перекатывания утверждает, что если перекатить многогранник из одного положения в другое так, чтобы он встал на исходную грань (вообще говоря, в другом месте), то угол, на который повернется многогранник в результате этого перекатывания, будет равен некоторой целочисленной линейной комбинации кривизн в его вершинах. К примеру, если на поверхности выпуклого многогранника провести направленную замкнутую ломаную линию без самопересечений, состоящую из отрезков, соединяющих внутренние точки его ребер, то в результате прокатывания многогранника по ребрам, которые пересекает эта линия, он повернется на угол, чья абсолютная величина геометрически равна сумме кривизн вершин любой из двух областей, на которые ломаная делит поверхность многогранника.

СПМ обладает богатой группой симметрий — она переходит в себя при каждом движении плоскости (повороте или параллельном переносе), которое отображает любой след любого ребра многогранника на любой другой след того же ребра. В частности, СПМ переходит в себя при поворотах плоскости вокруг любого следа любой вершины на углы, целократные кривизне поверхности многогранника в этой вершине, а все множество углов симметрий СПМ либо состоит из чисел, кратных наибольшей общей мере кривизн в вершинах многогранника и полного угла, либо, если хоть одна из кривизн несоизмерима с π, всюду плотно на интервале (0,2π).

Основная теорема теории делит сети перекатывания выпуклых многогранников на три класса: дискретные (в этом случае группа симметрий СПМ содержит кратчайший ненулевой параллельный перенос и является федоровской группой); полунепрерывные (группа симметрий СПМ содержит параллельные переносы сколь угодно малой длины, но не содержит поворотов на сколь угодно малые углы), и вполне непрерывные (группа симметрий СПМ содержит параллельные переносы сколь угодно малой длины и повороты на сколь угодно малые углы).

СПМ дискретна только в следующих случаях:

1) многогранник является равногранным тетраэдром или двусторонним прямоугольником);

2) поверхность многогранника может быть разбита либо на равные квадраты, либо на равные равносторонние треугольники (при этом квадраты и треугольники могут быть перегнуты по ребрам многогранника).

СПМ вполне непрерывна тогда и только тогда, когда кривизна в одной из вершин многогранника несоизмерима с πолным углом.

Если СПМ не дискретна, следы любой вершины многогранника всюду плотно заполняют плоскость. Если СПМ дискретна, множество следов любой его вершины образует правильную точечную решетку. Для равногранного тетраэдра и двустороннего прямоугольника эта решетка строится непосредственно, а в остальных случаях ее построение связано с нахождением наибольшего общего делителя либо гауссовых, либо треугольных комплексных чисел, соответствующих вершинам связной целогранной развертки многогранника.

Дискретная СПМ называется правильной, если она имеет самопересечения только в своих центрах симметрии. Если двусторонний многоугольник имеет дискретную СПМ, то она правильная. Из объемных фигур правильные СПМ имеют лишь следующие: 1) равногранный тетраэдр; 2) некоторые многогранники с плоскими углами, кратными π/4; 3) некоторые многогранники с плоскими углами, кратными π/6.

Литература

• Матизен В. Перекатывание многогранников. «Квант», 1989, № 5. С.63 — 65.

См. также

• Многообразие

Ссылки

• Rolling Polyhedra on a Plane, Analysis of the Reachable Set

Примечания