Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во вселенной притягивает каждый другой объект по линии соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму

Вспомним, что в полярных координатах

В координатной форме запишем

Подставляя и во второе уравнение, получим

которое упрощается

После интегрирования запишем выражение

для некоторой константы , которая является удельным угловым моментом ().Пусть

Уравнение движения в направлении становится равным

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды.

В результате

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

для произвольных констант интегрирования e и θ₀.

Заменяя u на 1/r и полагая θ₀ = 0, получим:

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

По определению угловой момент точечной частицы с массой и скоростью записывается в виде:

.

где  — радиус-вектор частицы а  — импульс частицы. Площадь, заметаемая радиус-вектором за время из геометрических соображений равна , где представляет собой угол между направлениями и .

По определению

.

В результате мы имеем

.

Продифференцируем обе части уравнения по времени

поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что , а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади  — константа.

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B, запишем

Теперь, когда мы нашли , мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

Однако полная площадь эллипса равна (что равно , поскольку ). Время полного оборота, таким образом, равно

Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы (см. приведённая масса). При этом массу M в последней формуле нужно заменить на :