21-06-2023
Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от др.-греч. βαλειν — «бросать», ὑπερ — «сверх») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек и (называемых фокусами) постоянно. Точнее,
Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.
Кривая постоянной суммы расстояний между двумя точками — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянного произведения — овал Кассини.
Содержание |
Термин «гипербола» (греч. ὑπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 год до н. э. — ок. 190 год до н. э.), поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.
Гипербола может быть определена несколькими путями.
Гипербола может быть определена, как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как пересекающиеся и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, пересекающееся прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.
Гипербола может быть определена, как Геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.
Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная называется эксцентриситетом гиперболы.
Для характеристик гиперболы определённых выше подчиняются следующим соотношениям
Гиперболу, у которой , называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением
при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a,−a).
См. также Треугольник#Эллипсы, параболы и гиперболы
Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости:
где коэффициенты Axx, Axy, Ayy, Bx, By, и C удовлетворяют следующему соотношению
и
Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду
где a — большая и b — малая полуоси.
Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то
Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то
Подобно тому, как эллипс может быть представлен уравнениями в параметрической форме, в которые входят тригонометрические функции, гипербола в прямоугольной системе координат, центр которой совпадает с её центром, а ось абсцисс проходит через фокусы, может быть представлена уравнениями в параметрической форме, в которые входят гиперболические функции[1].
В первом уравнении знак «+» соответствует правой ветви гиперболы, а «-» — её левой ветви.
Для гиперболы, заданной в каноническом виде
уравнения двух асимптот имеют вид:
Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряженный диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.
Угловой коэффициент параллельных хорд и угловой коэффициент соответствующего диаметра связан соотношением
Если диаметр a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряженными. Главными диаметрами называются взаимно сопряженные и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.
Поскольку гипербола является гладкой кривой, в каждой её точке (x0, y0) можно провести касательную и нормаль. Уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением, имеет вид:
или, что то же самое,
Вывод уравнения касательной |
---|
Уравнение касательной произвольной плоской линии имеет вид Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций
Тогда производная этих функций имеет вид
Подставив это уравнение в общее уравнение касательной, получим |
Уравнение нормали к гиперболе имеет вид:
Вывод уравнения нормали |
---|
Уравнение нормали произвольной плоской линии имеет вид
Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций
Тогда производная этих функций имеет вид
Подставив это уравнение в общее уравнение нормали, получим
|
Кривизна гиперболы в каждой её точке (x, y) определяется из выражения:
Соответственно, радиус кривизны имеет вид:
В частности, в точке (a, 0) радиус кривизны равен
Вывод формулы для радиуса кривизны |
---|
Формула для радиуса кривизны плоской линии, заданной параметически, имеет вид:
Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: Тогда, первая производная x и y по t имеет вид
а вторая производная - Подставляя эти значения в формулу для кривизны получаем:
|
Координаты центров кривизны задаются парой уравнений:
Подставив в последнюю систему уравнений вместо x и y их значения из параметрического представления гиперболы, получим пару уравнений, задающих новую кривую, состоящую из центров кривизны гиперболы. Эта кривая называется эволютой гиперболы.
Гипербола в Викисловаре? | |
Конические сечения | |
---|---|
Главные типы | Эллипс • Гипербола • Парабола |
Вырожденные | Точка • Прямая • Пара прямых |
Частный случай эллипса | Окружность |
Геометрическое построение | Коническое сечение • Шары Данделена |
См. также | Коническая константа |
Математика • Геометрия |
Гипербола (математика).